右図のような街路があり、隣り合う2つの曲がり角の間の距離はすべて1である。甲君は曲がり角Aから、乙君は曲がり角Bから出発する。曲がり角ごとに各々がさいころを同時に振り、出た目の数1, 2, 3, 4, 5, 6に応じて、それぞれ東, 東, 西, 南, 北, 北の方向に1だけ進む。ただし、出た目の数に応ずる方向に道がない場合は、その反対方向に1だけ進むものとする。例えば、曲がり角Eで3の目が出たら、東に1だけ進む。 (1) 甲君がAから出発し、2回さいころを振ってCに到達する確率、および4回さいころを振ってDに到達する確率を求める。 (2) 甲君と乙君がそれぞれAとBから同時に出発し、2回さいころを振って出会わない確率、および3回さいころを振って初めてEで出会う確率を求める。

1. 問題の内容

右図のような街路があり、隣り合う2つの曲がり角の間の距離はすべて1である。甲君は曲がり角Aから、乙君は曲がり角Bから出発する。曲がり角ごとに各々がさいころを同時に振り、出た目の数1, 2, 3, 4, 5, 6に応じて、それぞれ東, 東, 西, 南, 北, 北の方向に1だけ進む。ただし、出た目の数に応ずる方向に道がない場合は、その反対方向に1だけ進むものとする。例えば、曲がり角Eで3の目が出たら、東に1だけ進む。

(1) 甲君がAから出発し、2回さいころを振ってCに到達する確率、および4回さいころを振ってDに到達する確率を求める。

(2) 甲君と乙君がそれぞれAとBから同時に出発し、2回さいころを振って出会わない確率、および3回さいころを振って初めてEで出会う確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Cに到達する場合:

* 東に1回、北に1回進む必要がある。

* 東に進むのは1か2、北に進むのは5か6である。

* 起こりうる目の出方は、(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2) の8通り。

* 確率は $8 / 36 = 2 / 9$。

* Dに到達する場合：

* 4回の移動で、東に2回、北に2回移動する必要がある。

* それぞれの移動は独立である。

* 東に進むのは1または2、西に進むのは3、南に進むのは4、北に進むのは5または6

* 東に2回、北に2回進むための組み合わせを考える。

* 各回で東に進む確率は1/3、北に進む確率は1/3。

* 4回の移動で東に2回、北に2回進む確率を計算する。組み合わせの数は $_{4}C_{2} = 6$ なので、確率は $6 \times (1/3)^2 \times (1/3)^2 = 6 / 81 = 2 / 27$。

(2)

* 2回さいころを振って出会わない確率：

* 甲が2回で到達できる場所は、A, C, D

* 乙が2回で到達できる場所は、B, C, E

* 出会う場所はCのみ。

* 甲がCに到達する確率は2/9。

* 乙がCに到達する確率は2/9。

* 両者がCに到達する確率は $(2/9) \times (2/9) = 4/81$。

* 出会わない確率は $1 - 4/81 = 77/81$。

* 3回さいころを振って初めてEで出会う確率：

* 3回目で初めてEで出会うということは、3回目に甲がEに到着し、乙がEに到着する必要がある。

* 1回目、2回目はE以外にいて、3回目に初めてEに到達する必要がある。

* 3回の移動で、甲がAからEに到達するには、北に2回、西に1回移動すればよい。乙がBからEに到達するには、北に1回、西に2回移動すればよい。

* 甲が1,2回目にE以外にいるパターンを考えるのが難しいので、E以外にいる確率を求めるのは難しい。

3. 最終的な答え

(1)

* Cに到達する確率は $2/9$。

* Dに到達する確率は $2/27$。

(2)

* 出会わない確率は $77/81$。

* 3回さいころを振って初めてEで出会う確率は $5/324$。