320人の生徒のうち、自転車利用者が200人、電車利用者が150人である。 どちらも利用していない生徒数の最大値(ア)、両方とも利用している生徒数の最小値(イ)、自転車だけ利用している生徒数の最小値(ウ)と最大値(エ)を求める。

1. 問題の内容

320人の生徒のうち、自転車利用者が200人、電車利用者が150人である。

どちらも利用していない生徒数の最大値(ア)、両方とも利用している生徒数の最小値(イ)、自転車だけ利用している生徒数の最小値(ウ)と最大値(エ)を求める。

2. 解き方の手順

まず、全体集合を320人とする。

自転車利用者数を$n(A)$、電車利用者数を$n(B)$とする。

$n(A) = 200$, $n(B) = 150$ である。

(ア) どちらも利用していない生徒数の最大値を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ より、$n(A \cup B)$を最小にすれば、どちらも利用していない生徒数は最大になる。

$n(A \cup B)$の最小値は、BがAに含まれるときなので、$n(A \cup B) = n(A) = 200$となる。

したがって、どちらも利用していない生徒数の最大値は $320 - 200 = 120$人。

(イ) 両方とも利用している生徒数の最小値を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B)$は最大で320人なので、$320 = 200 + 150 - n(A \cap B)$より

$n(A \cap B) = 200 + 150 - 320 = 30$人。

(ウ) 自転車だけ利用している生徒数の最小値を求める。

自転車だけ利用している生徒数は$n(A) - n(A \cap B)$である。

$n(A) = 200$は固定なので、$n(A \cap B)$を最大にすれば、自転車だけ利用している生徒数は最小になる。

$n(A \cap B)$の最大値は$n(B)$なので、$n(A \cap B) = 150$となる。

したがって、自転車だけ利用している生徒数の最小値は $200 - 150 = 50$人。

(エ) 自転車だけ利用している生徒数の最大値を求める。

自転車だけ利用している生徒数は$n(A) - n(A \cap B)$である。

$n(A) = 200$は固定なので、$n(A \cap B)$を最小にすれば、自転車だけ利用している生徒数は最大になる。

$n(A \cap B)$の最小値は30人なので、$200 - 30 = 170$人になる。

しかし、$n(B) = 150$なので、$n(A \cap B)$の最小値は、$200+150-320 = 30$となる。

$200-30=170$。

3. 最終的な答え

ア: 120

イ: 30

ウ: 50

エ: 50