80人の人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は63人、Bを正解した人は12人、A, Bをともに正解した人は10人であった。次の人数を求めます。 (1) AとBの少なくとも一方を正解した人 (2) AもBも正解しなかった人 (3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人

1. 問題の内容

80人の人にAとBの2問のクイズを出題したところ、Aを正解した人は63人、Bを正解した人は12人、A, Bをともに正解した人は10人であった。次の人数を求めます。

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人

(2) AもBも正解しなかった人

(3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人

2. 解き方の手順

(1) AとBの少なくとも一方を正解した人数は、Aを正解した人数とBを正解した人数を足し合わせ、AとBの両方を正解した人数を引くことで求められます。これは包除原理に基づいています。

$A \cup B = A + B - A \cap B$

$63 + 12 - 10 = 65$

(2) AもBも正解しなかった人数は、全体の人数からAとBの少なくとも一方を正解した人数を引くことで求められます。

$全体 - (A \cup B) = A\cap B = 全体 - (A + B - A \cap B)$

$80 - 65 = 15$

(3) Aだけ正解し、Bは正解しなかった人数は、Aを正解した人数からAとBの両方を正解した人数を引くことで求められます。

$A - A \cap B$

$63 - 10 = 53$

3. 最終的な答え

(1) 65人

(2) 15人

(3) 53人