次の４つの式をそれぞれ簡単にせよ。 (1) $\sqrt[3]{a^4b^3} \times \sqrt{a^3b} \div \sqrt[6]{a^5b^3}$ (2) $(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1)$ (3) $\log_4 18 - \log_4 12$ (4) $\log_5 2 - \log_{25} \frac{1}{20}$

1. 問題の内容

次の４つの式をそれぞれ簡単にせよ。

(1) $\sqrt[3]{a^4b^3} \times \sqrt{a^3b} \div \sqrt[6]{a^5b^3}$

(2) $(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1)$

(3) $\log_4 18 - \log_4 12$

(4) $\log_5 2 - \log_{25} \frac{1}{20}$

2. 解き方の手順

(1) 指数表記に変換し、計算する。

$\sqrt[3]{a^4b^3} \times \sqrt{a^3b} \div \sqrt[6]{a^5b^3} = a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{3}{3}} \times a^{\frac{3}{2}}b^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{3}{6}}$

$= a^{\frac{4}{3}+\frac{3}{2}-\frac{5}{6}}b^{\frac{3}{3}+\frac{1}{2}-\frac{3}{6}} = a^{\frac{8+9-5}{6}}b^{\frac{6+3-3}{6}} = a^{\frac{12}{6}}b^{\frac{6}{6}} = a^2b$

(2) 展開して計算する。

$(\sqrt{2} - \sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + \sqrt[4]{2} + 1) = (\sqrt{2} + 1 - \sqrt[4]{2})(\sqrt{2} + 1 + \sqrt[4]{2})$

$= (\sqrt{2} + 1)^2 - (\sqrt[4]{2})^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}$

(3) 対数の性質を利用して計算する。

$\log_4 18 - \log_4 12 = \log_4 \frac{18}{12} = \log_4 \frac{3}{2}$

(4) 底の変換公式と対数の性質を利用して計算する。

$\log_5 2 - \log_{25} \frac{1}{20} = \log_5 2 - \frac{\log_5 \frac{1}{20}}{\log_5 25} = \log_5 2 - \frac{\log_5 1 - \log_5 20}{2} = \log_5 2 - \frac{0 - (\log_5 4 + \log_5 5)}{2}$

$= \log_5 2 + \frac{\log_5 4 + 1}{2} = \log_5 2 + \frac{2\log_5 2 + 1}{2} = \log_5 2 + \log_5 2 + \frac{1}{2} = 2\log_5 2 + \frac{1}{2} = \log_5 4 + \log_5 \sqrt{5} = \log_5 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a^2b$

(2) $3 + \sqrt{2}$

(3) $\log_4 \frac{3}{2}$

(4) $\log_5 4\sqrt{5}$