関数 $y = \frac{1}{(x^3+1)^3}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(x^3+1)^3}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を微分するために、まず関数を $y = (x^3+1)^{-3}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使います。

チェーンルールは、関数 $y = f(g(x))$ の微分が $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題では、$g(x) = x^3+1$ と $f(g) = g^{-3}$ とおきます。

まず、$g(x) = x^3+1$ の微分を計算します。

$\frac{dg}{dx} = 3x^2$

次に、$f(g) = g^{-3}$ の微分を計算します。

$\frac{df}{dg} = -3g^{-4} = -3(x^3+1)^{-4}$

したがって、$y = (x^3+1)^{-3}$ の微分は、

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} = -3(x^3+1)^{-4} \cdot 3x^2 = -9x^2(x^3+1)^{-4}$

最後に、式を整理して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-9x^2}{(x^3+1)^4}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-9x^2}{(x^3+1)^4}$