与えられた数式を簡略化する問題 (Q3) と、方程式または不等式を解く問題 (Q4) です。

以下に、画像に含まれる問題のうち、Q3(1), Q3(2), Q3(3), Q3(4), Q3(5), Q4(1), Q4(2), Q4(3), Q4(4), Q4(5), Q4(6)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた数式を簡略化する問題 (Q3) と、方程式または不等式を解く問題 (Q4) です。

2. 解き方の手順

Q3 (1): $\sqrt{(-2) \times (-8)}$

* まず、括弧の中を計算します。 $(-2) \times (-8) = 16$

* 次に、平方根を計算します。 $\sqrt{16} = 4$

Q3 (2): $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

* 二項の平方の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を適用します。

* $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{6}) + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{9 \times 2} = 9 + 2(3\sqrt{2}) = 9 + 6\sqrt{2}$

Q3 (3): $\frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt[3]{a^4}}$ $(a > 0)$

* 指数表記に変換します。 $\frac{a^2 a^{1/2}}{a^{4/3}} = \frac{a^{2 + 1/2}}{a^{4/3}} = \frac{a^{5/2}}{a^{4/3}}$

* 指数の法則 $a^m / a^n = a^{m-n}$ を適用します。 $a^{5/2 - 4/3} = a^{\frac{15-8}{6}} = a^{7/6}$

Q3 (4): $\log_3 \sqrt{9}$

* $\sqrt{9} = 3$ より、$\log_3 \sqrt{9} = \log_3 3 = 1$

Q3 (5): $\log_2 36 - \log_2 9$

* 対数の性質 $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$ を適用します。 $\log_2 36 - \log_2 9 = \log_2 \frac{36}{9} = \log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

Q4 (1): $2^{-3x} = \frac{1}{16}$

* $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ なので、$2^{-3x} = 2^{-4}$

* 指数が等しくなるので、 $-3x = -4$ より $x = \frac{4}{3}$

Q4 (2): $5^{2x+1} > 125$

* $125 = 5^3$ なので、$5^{2x+1} > 5^3$

* 指数が等しくなるので、$2x+1 > 3$

* $2x > 2$ より $x > 1$

Q4 (3): $0.3^{2x-1} < 0.09$

* $0.09 = 0.3^2$ なので、$0.3^{2x-1} < 0.3^2$

* 底が1より小さいので、指数の大小関係は逆になります。 $2x-1 > 2$

* $2x > 3$ より $x > \frac{3}{2}$

Q4 (4): $4^x + 2^{x+1} - 3 < 0$

* $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ かつ $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ なので、$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 3 < 0$

* $y = 2^x$ とおくと、$y^2 + 2y - 3 < 0$

* $(y+3)(y-1) < 0$

* $-3 < y < 1$

* $y = 2^x$ なので、$-3 < 2^x < 1$

* $2^x > -3$ は常に成立します。

* $2^x < 1$ より $2^x < 2^0$ となるので、$x < 0$

Q4 (5): $\log_2 (x-1) + \log_4 4 = 0$

* $\log_4 4 = 1$ なので、$\log_2 (x-1) + 1 = 0$

* $\log_2 (x-1) = -1$

* $x-1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

* $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

* 真数条件 $x-1 > 0$ より $x > 1$ なので、 $x = \frac{3}{2}$ は条件を満たします。

Q4 (6): $\log_3 (x-1) < 2$

* $\log_3 (x-1) < \log_3 3^2 = \log_3 9$

* 真数条件 $x-1 > 0$ より $x > 1$

* $x-1 < 9$ より $x < 10$

* よって、$1 < x < 10$

3. 最終的な答え

Q3 (1): 4

Q3 (2): $9 + 6\sqrt{2}$

Q3 (3): $a^{7/6}$

Q3 (4): 1

Q3 (5): 2

Q4 (1): $x = \frac{4}{3}$

Q4 (2): $x > 1$

Q4 (3): $x > \frac{3}{2}$

Q4 (4): $x < 0$

Q4 (5): $x = \frac{3}{2}$

Q4 (6): $1 < x < 10$