5つの値 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ からなるデータ $X_0$ の平均値を $\overline{x_0}$, 分散を $s_0^2$ とする。データ $X_0$ に新たに値 $x_6$ を加えたデータを $X$ とし、$X$ の平均値を $\overline{x}$, 分散を $s^2$ とする。問題は、$x_6 = \overline{x_0}$ のとき、$s^2$ を $s_0^2$ で表し、$x_6 > \overline{x_0}$ のとき、$\overline{x} = \overline{x_0} + \alpha$ とおいて、$x_6$ を $\overline{x_0}$ と $\alpha$ で表し、$s^2$ を $s_0^2$ と $\alpha^2$ で表す問題です。

1. 問題の内容

5つの値 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ からなるデータ $X_0$ の平均値を $\overline{x_0}$, 分散を $s_0^2$ とする。データ $X_0$ に新たに値 $x_6$ を加えたデータを $X$ とし、$X$ の平均値を $\overline{x}$, 分散を $s^2$ とする。問題は、$x_6 = \overline{x_0}$ のとき、$s^2$ を $s_0^2$ で表し、$x_6 > \overline{x_0}$ のとき、$\overline{x} = \overline{x_0} + \alpha$ とおいて、$x_6$ を $\overline{x_0}$ と $\alpha$ で表し、$s^2$ を $s_0^2$ と $\alpha^2$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x_6 = \overline{x_0}$ のとき

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{6} = \frac{5\overline{x_0} + \overline{x_0}}{6} = \frac{6\overline{x_0}}{6} = \overline{x_0}$

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{6} (x_i - \overline{x})^2}{6} = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x_0})^2 + (x_6 - \overline{x})^2}{6} = \frac{5s_0^2 + (\overline{x_0} - \overline{x_0})^2}{6} = \frac{5s_0^2}{6}$

(2) $x_6 > \overline{x_0}$ のとき

$\overline{x} = \overline{x_0} + \alpha$ なので、

$\overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6}{6} = \frac{5\overline{x_0} + x_6}{6}$

$\overline{x_0} + \alpha = \frac{5\overline{x_0} + x_6}{6}$

$6\overline{x_0} + 6\alpha = 5\overline{x_0} + x_6$

$x_6 = \overline{x_0} + 6\alpha$

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{6} (x_i - \overline{x})^2}{6} = \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - (\overline{x_0} + \alpha))^2 + (x_6 - (\overline{x_0} + \alpha))^2}{6}$

$= \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x_0} - \alpha)^2 + (\overline{x_0} + 6\alpha - \overline{x_0} - \alpha)^2}{6}$

$= \frac{\sum_{i=1}^{5} ((x_i - \overline{x_0})^2 - 2\alpha(x_i - \overline{x_0}) + \alpha^2) + (5\alpha)^2}{6}$

$= \frac{\sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x_0})^2 - 2\alpha \sum_{i=1}^{5} (x_i - \overline{x_0}) + 5\alpha^2 + 25\alpha^2}{6}$

$= \frac{5s_0^2 - 2\alpha \cdot 0 + 30\alpha^2}{6}$

$= \frac{5}{6}s_0^2 + 5\alpha^2$

3. 最終的な答え

$s^2 = \frac{5}{6}s_0^2$

$x_6 = \overline{x_0} + 6\alpha$

$s^2 = \frac{5}{6}s_0^2 + 5\alpha^2$

ネ: 5

ノ: 6

八: 6

ヒ: 5

フ: 6

ヘ: 5