赤球4個と白球2個が入った袋から、取り出し方Xと取り出し方Yでそれぞれ2個ずつ球を取り出す。 取り出し方X：1個取り出して色を確認後、袋に戻す。これを2回繰り返す。 取り出し方Y：同時に2個取り出し、色を確認する。これを1回行う。 取り出し方Xで取り出された赤球の個数を確率変数X、取り出し方Yで取り出された赤球の個数を確率変数Yとする。 (1) 確率変数Xの確率分布、期待値E(X)、期待値E(Y)を求める。 (2) 分散V(X)、分散V(Y)を求める。 (3) 確率変数Z=X+Yとしたとき、Zの期待値E(Z)、E(XY)、分散V(Z)を求める。

## 解答

1. 問題の内容

赤球4個と白球2個が入った袋から、取り出し方Xと取り出し方Yでそれぞれ2個ずつ球を取り出す。

取り出し方X：1個取り出して色を確認後、袋に戻す。これを2回繰り返す。

取り出し方Y：同時に2個取り出し、色を確認する。これを1回行う。

取り出し方Xで取り出された赤球の個数を確率変数X、取り出し方Yで取り出された赤球の個数を確率変数Yとする。

(1) 確率変数Xの確率分布、期待値E(X)、期待値E(Y)を求める。

(2) 分散V(X)、分散V(Y)を求める。

(3) 確率変数Z=X+Yとしたとき、Zの期待値E(Z)、E(XY)、分散V(Z)を求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率変数Xの確率分布を求める。

* X=0となる確率：2回とも白球を取り出す確率。$\frac{2}{6} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{9}$。

* X=1となる確率：1回赤球、1回白球を取り出す確率。$\frac{4}{6} \times \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{8}{36} + \frac{8}{36} = \frac{4}{9}$。

* X=2となる確率：2回とも赤球を取り出す確率。$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{4}{9}$。

| X | 0 | 1 | 2 | 計 |

|---|---|---|---|---|

| P | $\frac{1}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | 1 |

よって、ア=$\frac{1}{9}$、ウ=$\frac{4}{9}$、エ=$\frac{4}{9}$、イ=$\frac{1}{9}$。

確率変数Xの期待値E(X)を求める。

$E(X) = 0 \times \frac{1}{9} + 1 \times \frac{4}{9} + 2 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{9} + \frac{8}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$。

よって、オ=4、カ=3。

確率変数Yの期待値E(Y)を求める。

Y=0となる確率：2個とも白球を取り出す確率。$\frac{2C2}{6C2} = \frac{1}{15}$。

Y=1となる確率：赤球1個、白球1個を取り出す確率。$\frac{4C1 \times 2C1}{6C2} = \frac{8}{15}$。

Y=2となる確率：2個とも赤球を取り出す確率。$\frac{4C2}{6C2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$。

$E(Y) = 0 \times \frac{1}{15} + 1 \times \frac{8}{15} + 2 \times \frac{6}{15} = \frac{8}{15} + \frac{12}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$。

よって、キ=4、ク=3。

(2) 分散V(X)を求める。

$E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{9} + 1^2 \times \frac{4}{9} + 2^2 \times \frac{4}{9} = \frac{4}{9} + \frac{16}{9} = \frac{20}{9}$。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{20}{9} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{20}{9} - \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$。

よって、ケ=4、コ=9。

分散V(Y)を求める。

$E(Y^2) = 0^2 \times \frac{1}{15} + 1^2 \times \frac{8}{15} + 2^2 \times \frac{6}{15} = \frac{8}{15} + \frac{24}{15} = \frac{32}{15}$。

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \frac{32}{15} - (\frac{4}{3})^2 = \frac{32}{15} - \frac{16}{9} = \frac{96 - 80}{45} = \frac{16}{45}$。

よって、サシ=16、スセ=45。

(3) 期待値E(Z)を求める。

$E(Z) = E(X+Y) = E(X) + E(Y) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。

よって、ソ=8、タ=3、チ=3。

XとYが互いに独立であるとき、$E(XY) = E(X)E(Y) = \frac{4}{3} \times \frac{4}{3} = \frac{16}{9}$。

よって、ツ=2。

分散V(Z)を求める。

$V(Z) = V(X+Y) = V(X) + V(Y) = \frac{4}{9} + \frac{16}{45} = \frac{20+16}{45} = \frac{36}{45} = \frac{4}{5}$。

よって、テ=3、ト=4、ナ=5。

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1、イ: 9、ウ: 4、エ: 4

オ: 4、カ: 3

キ: 4、ク: 3

(2)

ケ: 4、コ: 9

サシ: 16、スセ: 45

(3)

ソ: 8、タ: 8、チ: 3

ツ: 2

テ: 3、ト: 4、ナ: 5