関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ （$0 \le x \le 2\pi$）について、導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、極大値と極小値を求め、また$f''(\frac{\pi}{4})$と$f''(\frac{8}{9}\pi)$の正負を判定する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x + \sqrt{2} \cos x$ （$0 \le x \le 2\pi$）について、導関数 $f'(x)$ と $f''(x)$ を求め、極大値と極小値を求め、また$f''(\frac{\pi}{4})$と$f''(\frac{8}{9}\pi)$の正負を判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f'(x)$と$f''(x)$を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \sqrt{2}\cos x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$

$f''(x) = \frac{d}{dx}(1 - \sqrt{2}\sin x) = -\sqrt{2}\cos x$

次に、$x = \frac{\pi}{4}$のとき、$f''(\frac{\pi}{4})$を計算します。

$f''(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -1$

したがって、$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$　より、$x = \frac{\pi}{4}$で極大値をとります。

$f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} + 1$

次に、$x = \frac{8}{9}\pi$のとき、$f''(\frac{8}{9}\pi)$を計算します。

$f''(\frac{8}{9}\pi) = -\sqrt{2}\cos(\frac{8}{9}\pi)$

$\frac{8}{9}\pi$は第二象限の角で、$\cos$の値は負なので、$-\sqrt{2}\cos(\frac{8}{9}\pi) > 0$

したがって、$f''(\frac{8}{9}\pi) > 0$　より、$x = \frac{8}{9}\pi$で極小値をとります。

$f(\frac{8}{9}\pi) = \frac{8}{9}\pi + \sqrt{2}\cos(\frac{8}{9}\pi)$

問題の形式に合うように、解答を埋めていきます。

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2}\cos x$

$x = \frac{\pi}{4}$のとき、$f'(\frac{\pi}{4}) = 0$で$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$であり、極大値 $\frac{\pi}{4} + 1$をとる。

$x = \frac{8}{9}\pi$のとき、$f'(\frac{8}{9}\pi) = 0$で$f''(\frac{8}{9}\pi) > 0$であり、極小値 $\frac{8}{9}\pi + \sqrt{2}\cos(\frac{8}{9}\pi)$をとる。

極小値の値は不明なので、空欄はそのままにします。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 1 - \sqrt{2}\sin x$

$f''(x) = -\sqrt{2}\cos x$

$x = \frac{\pi}{4}$のとき、$f'(\frac{\pi}{4}) = 0$で$f''(\frac{\pi}{4}) < 0$であり、極大値 $\frac{\pi}{4} + 1$をとる。

$x = \frac{8}{9}\pi$のとき、$f'(\frac{8}{9}\pi) = 0$で$f''(\frac{8}{9}\pi) > 0$であり、極小値をとる。

5の解答：2

10の解答：1