63, 294, a の最大公約数が 21 であり、最小公倍数が 9702 である。この条件を満たす正の整数 a の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

63, 294, a の最大公約数が 21 であり、最小公倍数が 9702 である。この条件を満たす正の整数 a の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数を素因数分解します。

$63 = 3^2 \times 7$

$294 = 2 \times 3 \times 7^2$

最大公約数が 21 なので、$21 = 3 \times 7$ となります。

最小公倍数が 9702 なので、$9702 = 2 \times 3^3 \times 7^2$ となります。

a を $a = 21k = 3 \times 7 \times k$ と表します。ここで k は整数です。

63, 294, a の最大公約数が 21 であることから、63= 3 x 3 x 7, 294 = 2 x 3 x 7 x 7 なので、k は 3 と 7 を因子に持たない可能性があります。

次に、63, 294, a の最小公倍数が 9702 であることを考慮します。

63, 294, $a=3 \times 7 \times k$ の最小公倍数 $L$ は、

$L = 2 \times 3^3 \times 7^2$ です。

$63 = 3^2 \times 7$

$294 = 2 \times 3 \times 7^2$

$a = 3 \times 7 \times k$

ここで、最小公倍数の定義から、各素因数の最大指数をとればよいので、

$L = 2^1 \times 3^{\max(2, 1, v_3(k)+1)} \times 7^{\max(1, 2, v_7(k)+1)}$

$L = 2 \times 3^3 \times 7^2$ より、

$\max(2, 1, v_3(k)+1) = 3$

$\max(1, 2, v_7(k)+1) = 2$

したがって、$v_3(k)+1=3$ つまり $v_3(k) = 2$、$v_7(k)+1 <= 2$ つまり、$v_7(k) <= 1$

そして、$2$ は $k$ に入る可能性がある ($v_2(k) >=0$) 。

$k$ の最小値を求めるには $k = 3^2 \times 2^0 \times 7^0 = 9$ または $k= 3^2 \times 7 = 63$ とすればよい。

$a = 21 \times 9 = 189$ を考えると、

63, 294, 189 の最大公約数は $3 \times 7 = 21$ であり、

最小公倍数は $2 \times 3^3 \times 7^2 = 9702$ となり条件を満たします。

$a = 21 \times 63 = 1323$ とすると、

63, 294, 1323の最大公約数は21であり、

最小公倍数は $2 \times 3^3 \times 7^2 = 9702$ となり条件を満たします。

さらに小さい $k$ の値を探すと、$k = 2 \times 3^2=18$ であれば、

$a = 21 \times 18 = 378$ となります。

63, 294, 378の最大公約数は $3 \times 7 = 21$ であり、

最小公倍数は $2 \times 3^3 \times 7^2 = 9702$ となり条件を満たします。

189, 378, 1323 のうち、最小は 189 なので $a = 189$ が最小値です。

3. 最終的な答え

189