(1) 2進数で表された自然数 $a = 1101_{(2)}$ と $b = 1010_{(2)}$ が与えられたとき、$a+b$ と $ab$ の値を2進数で表す。 (2) 分数 $\frac{5}{8}$ を2進法の小数で表す。

1. 問題の内容

(1) 2進数で表された自然数 $a = 1101_{(2)}$ と $b = 1010_{(2)}$ が与えられたとき、$a+b$ と $ab$ の値を2進数で表す。

(2) 分数 $\frac{5}{8}$ を2進法の小数で表す。

2. 解き方の手順

(1)

$a$ と $b$ の和と積を計算し、2進数で表す。

まず、$a$ と $b$ を10進数に変換する。

$a = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13$

$b = 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10$

したがって、$a + b = 13 + 10 = 23$ と $ab = 13 \cdot 10 = 130$ である。

次に、23と130を2進数に変換する。

23を2進数に変換するには、2で割り続ける。

$23 \div 2 = 11$ 余り 1

$11 \div 2 = 5$ 余り 1

$5 \div 2 = 2$ 余り 1

$2 \div 2 = 1$ 余り 0

$1 \div 2 = 0$ 余り 1

余りを逆順に並べると $10111_{(2)}$ となる。

130を2進数に変換するには、2で割り続ける。

$130 \div 2 = 65$ 余り 0

$65 \div 2 = 32$ 余り 1

$32 \div 2 = 16$ 余り 0

$16 \div 2 = 8$ 余り 0

$8 \div 2 = 4$ 余り 0

$4 \div 2 = 2$ 余り 0

$2 \div 2 = 1$ 余り 0

$1 \div 2 = 0$ 余り 1

余りを逆順に並べると $10000010_{(2)}$ となる。

あるいは、$a+b$ と $ab$ を直接2進数で計算しても良い。

$a+b = 1101_{(2)} + 1010_{(2)} = 10111_{(2)}$

$ab = 1101_{(2)} \times 1010_{(2)} = 1101_{(2)} \times (1000_{(2)} + 10_{(2)}) = 1101000_{(2)} + 11010_{(2)} = 10000010_{(2)}$

(2)

$\frac{5}{8}$ を2進法の小数で表す。

$\frac{5}{8} = \frac{5}{2^3} = 5 \times 2^{-3} = (101)_{(2)} \times 2^{-3} = 0.101_{(2)}$

あるいは、

$\frac{5}{8} = 0.625$

$0.625 \times 2 = 1.25$ より、1

$0.25 \times 2 = 0.5$ より、0

$0.5 \times 2 = 1.0$ より、1

よって、$\frac{5}{8} = 0.101_{(2)}$

3. 最終的な答え

(1) $a+b = 10111_{(2)}$, $ab = 10000010_{(2)}$

(2) $\frac{5}{8} = 0.101_{(2)}$