6で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の整数のうち、最大のものを求める問題です。

1. 問題の内容

6で割ると3余り、13で割ると7余る3桁の整数のうち、最大のものを求める問題です。

2. 解き方の手順

求める整数を$n$とします。

問題文より、以下の2つの式が成り立ちます。

$n \equiv 3 \pmod{6}$

$n \equiv 7 \pmod{13}$

1つ目の式から、$n = 6k + 3$ ($k$は整数)と表せます。

これを2つ目の式に代入すると、

$6k + 3 \equiv 7 \pmod{13}$

$6k \equiv 4 \pmod{13}$

ここで、$6k \equiv 4 \pmod{13}$を満たす$k$を求めます。

$6k \equiv 4 \pmod{13}$の両辺に2をかけると、

$12k \equiv 8 \pmod{13}$

$-k \equiv 8 \pmod{13}$

$k \equiv -8 \pmod{13}$

$k \equiv 5 \pmod{13}$

したがって、$k = 13l + 5$ ($l$は整数)と表せます。

これを$n = 6k + 3$に代入すると、

$n = 6(13l + 5) + 3$

$n = 78l + 30 + 3$

$n = 78l + 33$

$n$は3桁の整数なので、$100 \le n \le 999$を満たす必要があります。

$100 \le 78l + 33 \le 999$

$67 \le 78l \le 966$

$67/78 \le l \le 966/78$

$0.858... \le l \le 12.384...$

$l$は整数なので、$1 \le l \le 12$となります。

$n$が最大になるのは、$l = 12$のときです。

$n = 78 \cdot 12 + 33 = 936 + 33 = 969$

3. 最終的な答え

969