3桁の整数があり、百の位の数は一の位の数の2倍で、各位の数の和は16である。この整数から297を引くと、各位の数の順序が逆になる。十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とおいたとき、この条件を満たす連立方程式を立て、$x$ と $y$ の値を求め、3桁の整数を求める。

1. 問題の内容

3桁の整数があり、百の位の数は一の位の数の2倍で、各位の数の和は16である。この整数から297を引くと、各位の数の順序が逆になる。十の位の数を $x$、一の位の数を $y$ とおいたとき、この条件を満たす連立方程式を立て、$x$ と $y$ の値を求め、3桁の整数を求める。

2. 解き方の手順

まず、3桁の整数を $100 \times 2y + 10x + y = 200y + 10x + y = 201y + 10x$ と表す。この整数から297を引くと各位の順序が逆になることから、$201y + 10x - 297 = 100y + 10x + 2y$ という式が成り立つ。

また、各位の数の和が16なので、$2y + x + y = 3y + x = 16$ という式が成り立つ。

よって、連立方程式は以下のようになる。

$3y + x = 16$

$201y + 10x - 297 = 100(2y) + 10x + y$

2番目の式を整理すると、

$201y + 10x - 297 = 200y + 10x + y$

$201y - 200y - y + 10x - 10x = 297$

$0 = 297$

これは矛盾。しかし、問題文をよく読むと、百の位の数は一の位の数の2倍となっているので、この情報を考慮すると、

元の整数は $200y + 10x + y = 100(2y) + 10x + y$

各位の順序が逆になった整数は $100y + 10x + 2y = 100y + 10x + 2(1)y$

$200y+10x+y - 297 = 100y+10x+2y$

$201y + 10x - 297 = 102y + 10x$

$201y - 102y + 10x - 10x = 297$

$99y = 297$

$y = 3$

$x + 3y = 16$

$x + 3(3) = 16$

$x + 9 = 16$

$x = 7$

したがって、$x=7$、$y=3$

3. 最終的な答え

$x = 7$, $y = 3$