与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 2abc$

次に、式を整理するために、$a$について降べきの順に並べ替えます。

$a^2b + a^2c + b^2a + c^2a + b^2c + c^2b + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2c+c^2b)$

$(b^2+c^2+2bc)$ の項を $(b+c)^2$ で置き換えます。また、最後の項 $b^2c+c^2b$ を $bc(b+c)$ で置き換えます。

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+2bc)a + (b^2c+c^2b) = (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)$

すべての項に共通する因子 $(b+c)$ をくくり出します。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c) = (b+c)[a^2 + (b+c)a + bc]$

括弧の中の式を因数分解します。

$a^2 + (b+c)a + bc = (a+b)(a+c)$

したがって、元の式は次のように因数分解されます。

$(b+c)[a^2 + (b+c)a + bc] = (b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$