2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが x 軸と接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2mx - 2m - 1$ のグラフが x 軸と接するとき、定数 $m$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフがx軸と接するということは、$y=0$としたときに、2次方程式が重解を持つということです。判別式を $D$ とすると、$D=0$となる条件を考えます。

$y = x^2 + 2mx - 2m - 1 = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(-2m - 1) = 4m^2 + 8m + 4$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) = 4(m + 1)^2$

グラフが x 軸と接するとき、$D = 0$ なので、

$4(m + 1)^2 = 0$

$(m + 1)^2 = 0$

$m + 1 = 0$

$m = -1$

$m = -1$ のとき、2次関数は

$y = x^2 - 2x + 2 - 1 = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$

$y=0$とすると

$(x-1)^2=0$

$x = 1$

よって、接点の座標は $(1, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$m = -1$

接点の座標は $(1, 0)$