問題1： (1) 複素数 $7+2i$ と $4-2i$ を表す2点間の距離を求めます。 (2) 複素数 $-3+i$ と $1-5i$ を表す2点間の距離を求めます。 問題2： 例題1の複素数 $z$, $w$ について、不等式 $||z| - |w|| \lt |z+w|$ を証明します。

1. 問題の内容

問題1：

(1) 複素数 $7+2i$ と $4-2i$ を表す2点間の距離を求めます。

(2) 複素数 $-3+i$ と $1-5i$ を表す2点間の距離を求めます。

問題2：

例題1の複素数 $z$, $w$ について、不等式 $||z| - |w|| \lt |z+w|$ を証明します。

2. 解き方の手順

問題1：

複素数 $z_1 = a+bi$ と $z_2 = c+di$ を表す2点間の距離は、$\sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2}$ で求められます。

(1)

$z_1 = 7+2i$, $z_2 = 4-2i$ の場合、

$a=7$, $b=2$, $c=4$, $d=-2$ なので、距離は

$\sqrt{(7-4)^2 + (2-(-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

(2)

$z_1 = -3+i$, $z_2 = 1-5i$ の場合、

$a=-3$, $b=1$, $c=1$, $d=-5$ なので、距離は

$\sqrt{(-3-1)^2 + (1-(-5))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

問題2：

三角不等式 $|z+w| \le |z| + |w|$ は既に証明されています。

この不等式を使って、$||z| - |w|| \le |z-w|$ を示します。

$z = (z+w) - w$ と表せるので、三角不等式より

$|z| = |(z+w) - w| \le |z+w| + |-w| = |z+w| + |w|$

したがって、

$|z| - |w| \le |z+w|$

同様に、$w = (z+w) - z$ と表せるので、三角不等式より

$|w| = |(z+w) - z| \le |z+w| + |-z| = |z+w| + |z|$

したがって、

$|w| - |z| \le |z+w|$

$|z| - |w| \ge -|z+w|$

よって、

$-|z+w| \le |z| - |w| \le |z+w|$

したがって、$||z| - |w|| \le |z+w|$が成立します。

問題文の不等式は$||z| - |w|| < |z+w|$なので、等号が成り立たないことを示します。

$||z| - |w|| = |z+w|$が成り立つのは、$z$と$w$が同一直線上にあり、かつ逆向きの場合です。このとき、$z+w=0$なので$||z|-|w|| = |z+w| = 0$となります。これは、$|z| = |w|$を意味します。このとき、$z$と$w$が同一直線上にあり、逆向きで、かつ絶対値が等しいのは、$z=-w$の場合だけです。この状況を除けば、$||z|-|w|| < |z+w|$が成立します。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) 5

(2) $2\sqrt{13}$

問題2：

$||z| - |w|| \lt |z+w|$ (証明は上記参照)