問題は、次の式を展開することです。 (1) $(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)$ (2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ (3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$ (4) $(2x-3y)^2(2x+3y)^2$

1. 問題の内容

問題は、次の式を展開することです。

(1) $(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

(3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

(4) $(2x-3y)^2(2x+3y)^2$

2. 解き方の手順

(1) $(x+2)(x+5)(x-2)(x-5)$

$(x+2)(x-2) = x^2 - 4$

$(x+5)(x-5) = x^2 - 25$

$(x^2-4)(x^2-25) = x^4 - 25x^2 - 4x^2 + 100 = x^4 - 29x^2 + 100$

(2) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

$(x^2+5x+4)(x^2+5x+6) = (x^2+5x)^2 + 10(x^2+5x) + 24 = x^4 + 10x^3 + 25x^2 + 10x^2 + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3) $(a+2b)^2(a-2b)^2$

$((a+2b)(a-2b))^2 = (a^2-4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

(4) $(2x-3y)^2(2x+3y)^2$

$((2x-3y)(2x+3y))^2 = (4x^2 - 9y^2)^2 = 16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 29x^2 + 100$

(2) $x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

(3) $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

(4) $16x^4 - 72x^2y^2 + 81y^4$