次の不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。 $0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

1. 問題の内容

次の不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。

$0.4 < 0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

2. 解き方の手順

まず、不等式を2つの部分に分けます。

(1) $0.4 < 0.1x + 1$

(2) $0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

(1) の不等式を解きます。

$0.4 < 0.1x + 1$

両辺から1を引きます。

$-0.6 < 0.1x$

両辺を0.1で割ります。

$-6 < x$

つまり、$x > -6$

(2) の不等式を解きます。

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

$0.1x + 1 < \frac{1}{2}x + \frac{7}{5}$

$0.1x + 1 < 0.5x + 1.4$

両辺から$0.1x$を引きます。

$1 < 0.4x + 1.4$

両辺から1.4を引きます。

$-0.4 < 0.4x$

両辺を0.4で割ります。

$-1 < x$

つまり、$x > -1$

2つの不等式、$x > -6$ と $x > -1$ を同時に満たす範囲を求めます。

$x > -1$ の方がより厳しい条件なので、$x > -1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x > -1$