$0 \le x \le 2$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + a > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2$ の範囲において、常に $x^2 - 2ax + a > 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた不等式 $x^2 - 2ax + a > 0$ を考えます。

まず、関数 $f(x) = x^2 - 2ax + a$ とおきます。この関数は下に凸な二次関数なので、区間 $0 \le x \le 2$ において $f(x) > 0$ が常に成り立つためには、以下のいずれかの条件を満たせば良いです。

(1) $f(x)$ の最小値が $0$ より大きい。

(2) $f(x)$ が区間 $0 \le x \le 2$ で常に増加関数であり、$f(0) > 0$。

(3) $f(x)$ が区間 $0 \le x \le 2$ で常に減少関数であり、$f(2) > 0$。

$f(x)$ を平方完成すると、

$$f(x) = (x - a)^2 - a^2 + a$$

軸は $x = a$ です。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は増加関数になります。

したがって、$f(0) > 0$ を満たせば良いので、$f(0) = a > 0$ となりますが、$a < 0$ に矛盾します。

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ での $f(x)$ の最小値は $x = a$ のときの $f(a) = -a^2 + a$ となります。

したがって、$f(a) = -a^2 + a > 0$ を満たせば良いので、

$-a^2 + a > 0$

$a(1 - a) > 0$

$0 < a < 1$

$0 \le a \le 2$ との共通範囲は $0 < a < 1$ となります。

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $f(x)$ は減少関数になります。

したがって、$f(2) > 0$ を満たせば良いので、$f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a > 0$ となります。

$4 > 3a$

$a < \frac{4}{3}$

$a > 2$ との共通範囲は存在しません。

(i), (ii), (iii) より、$0 < a < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$