与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、この結果と $(c+a)$ を掛け合わせます。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

最後に、$abc$ を加えます。

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式を因数分解すると、次のようになります。

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

$= (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$