次の不等式を解きます。 $\log_{\frac{1}{3}} 4x < 2 \log_{\frac{1}{3}} (x-3)$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\log_{\frac{1}{3}} 4x < 2 \log_{\frac{1}{3}} (x-3)$

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件を確認します。

$4x > 0$ より $x > 0$

$x - 3 > 0$ より $x > 3$

したがって、$x > 3$ が必要です。

次に、不等式を変形します。

$\log_{\frac{1}{3}} 4x < \log_{\frac{1}{3}} (x-3)^2$

底が $\frac{1}{3}$ で、$0 < \frac{1}{3} < 1$ なので、対数を外すと不等号の向きが反転します。

$4x > (x-3)^2$

$4x > x^2 - 6x + 9$

$0 > x^2 - 10x + 9$

$x^2 - 10x + 9 < 0$

$(x-1)(x-9) < 0$

$1 < x < 9$

真数条件 $x > 3$ との共通範囲を考えると、$3 < x < 9$

3. 最終的な答え

$3 < x < 9$