正の整数 $A, B$ を $6$ で割ったときの余りがそれぞれ $2, 5$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $A + 3B$ を $6$ で割ったときの余りを求める。 (2) $AB$ を $6$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

正の整数 $A, B$ を $6$ で割ったときの余りがそれぞれ $2, 5$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $A + 3B$ を $6$ で割ったときの余りを求める。

(2) $AB$ を $6$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $A, B$ を $6$ で割ったときの余りがそれぞれ $2, 5$ であるから、$A = 6m + 2$, $B = 6n + 5$ （$m, n$ は整数）と表せる。

$A + 3B = (6m + 2) + 3(6n + 5) = 6m + 2 + 18n + 15 = 6m + 18n + 17 = 6m + 18n + 12 + 5 = 6(m + 3n + 2) + 5$

よって、$A + 3B$ を $6$ で割ったときの余りは $5$ である。

(2) $A = 6m + 2$, $B = 6n + 5$ （$m, n$ は整数）より、

$AB = (6m + 2)(6n + 5) = 36mn + 30m + 12n + 10 = 36mn + 30m + 12n + 6 + 4 = 6(6mn + 5m + 2n + 1) + 4$

よって、$AB$ を $6$ で割ったときの余りは $4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $5$

(2) $4$