与えられた複素数の3乗根を計算する問題です。問題の式は、 $(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))^3$ です。

1. 問題の内容

与えられた複素数の3乗根を計算する問題です。問題の式は、

$(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))^3$

です。

2. 解き方の手順

まず、ド・モアブルの定理を利用します。ド・モアブルの定理とは、任意の整数 $n$ に対して、

$(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$

が成り立つというものです。

この定理を適用すると、与えられた式は以下のように変形できます。

$(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))^3 = \cos(3 \cdot (-\frac{\pi}{6})) + i\sin(3 \cdot (-\frac{\pi}{6}))$

$= \cos(-\frac{\pi}{2}) + i\sin(-\frac{\pi}{2})$

$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$、$\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$なので、

$= 0 + i(-1)$

$= -i$

3. 最終的な答え

$-i$