与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 1$ の、$0 \le x \le 2$ の範囲における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

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3. 関数 $y = -x^2 + 2ax + 1$ ($0 \le x \le 2$) について、次の問いに答えよ。ただし、$a$ は定数とする。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = -x^2 + 2ax + 1$ の、$0 \le x \le 2$ の範囲における最大値と最小値を、$a$ の値によって場合分けして求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) + 1$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 1$

$y = -(x - a)^2 + a^2 + 1$

この関数は、軸が $x=a$ の上に凸な放物線です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値を求めるには、軸 $x=a$ の位置によって場合分けが必要です。

(i) $a < 0$ のとき

定義域内で関数は単調減少であるため、$x=0$ で最大値を取ります。

最大値: $y = -0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき

頂点 $x=a$ が定義域内にあるので、$x=a$ で最大値を取ります。

最大値: $y = -(a-a)^2 + a^2 + 1 = a^2 + 1$

(iii) $a > 2$ のとき

定義域内で関数は単調増加であるため、$x=2$ で最大値を取ります。

最大値: $y = -2^2 + 2a(2) + 1 = -4 + 4a + 1 = 4a - 3$

(2) 最小値を求める。

同様に、軸 $x=a$ の位置によって場合分けが必要です。

(i) $a < 1$ のとき

定義域内で $x=2$ で最小値を取ります。

最小値: $y = -2^2 + 2a(2) + 1 = 4a - 3$

(ii) $a=1$ のとき

$y = -(x-1)^2 + 2$

定義域内で $x=0,2$で最小値を取ります。

最小値: $y=-x^2+2x+1 = 1$

(iii) $a > 1$ のとき

定義域内で $x=0$ で最小値を取ります。

最小値: $y = -0^2 + 2a(0) + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 最大値

* $a < 0$ のとき、最大値は $1$

* $0 \le a \le 2$ のとき、最大値は $a^2 + 1$

* $a > 2$ のとき、最大値は $4a - 3$

(2) 最小値

* $a < 1$ のとき、最小値は $4a - 3$

* $a=1$ のとき、最小値は $1$

* $a > 1$ のとき、最小値は $1$