問題は、与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることです。具体的には、(1) $a_1=4, a_{n+1} = 3a_n - 2$ と (3) $a_1=2, a_{n+1} = -2a_n + 1$ の2つの数列について一般項を求めます。

1. 問題の内容

問題は、与えられた漸化式で定義される数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めることです。具体的には、(1) $a_1=4, a_{n+1} = 3a_n - 2$ と (3) $a_1=2, a_{n+1} = -2a_n + 1$ の2つの数列について一般項を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a_1=4, a_{n+1} = 3a_n - 2$ の場合

特性方程式 $x = 3x - 2$ を解きます。

$x = 3x - 2$

$2x = 2$

$x = 1$

漸化式を $a_{n+1} - 1 = 3(a_n - 1)$ と変形します。

$b_n = a_n - 1$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となります。

これは、初項 $b_1 = a_1 - 1 = 4 - 1 = 3$、公比 3 の等比数列です。

よって、$b_n = 3 \cdot 3^{n-1} = 3^n$ となります。

$a_n = b_n + 1$ より、$a_n = 3^n + 1$ となります。

(3) $a_1=2, a_{n+1} = -2a_n + 1$ の場合

特性方程式 $x = -2x + 1$ を解きます。

$x = -2x + 1$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

漸化式を $a_{n+1} - \frac{1}{3} = -2(a_n - \frac{1}{3})$ と変形します。

$b_n = a_n - \frac{1}{3}$ とおくと、$b_{n+1} = -2b_n$ となります。

これは、初項 $b_1 = a_1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$、公比 -2 の等比数列です。

よって、$b_n = \frac{5}{3} \cdot (-2)^{n-1}$ となります。

$a_n = b_n + \frac{1}{3}$ より、$a_n = \frac{5}{3} (-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 3^n + 1$

(3) $a_n = \frac{5}{3}(-2)^{n-1} + \frac{1}{3}$