2つのベクトルの成分が与えられたとき、それらが垂直になるような $x$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問題があります。 (1) $\vec{a} = (5, 3)$, $\vec{b} = (9, x)$ (2) $\vec{a} = (x, -4)$, $\vec{b} = (x-5, 6)$

1. 問題の内容

2つのベクトルの成分が与えられたとき、それらが垂直になるような $x$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの小問題があります。

(1) $\vec{a} = (5, 3)$, $\vec{b} = (9, x)$

(2) $\vec{a} = (x, -4)$, $\vec{b} = (x-5, 6)$

2. 解き方の手順

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、それらの内積は0になります。つまり、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ が成立します。

(1) $\vec{a} = (5, 3)$, $\vec{b} = (9, x)$ の場合：

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 9 + 3 \times x = 45 + 3x$ が0になるように $x$ を求めます。

$45 + 3x = 0$

$3x = -45$

$x = -15$

(2) $\vec{a} = (x, -4)$, $\vec{b} = (x-5, 6)$ の場合：

内積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x(x-5) + (-4)(6) = x^2 - 5x - 24$ が0になるように $x$ を求めます。

$x^2 - 5x - 24 = 0$

この二次方程式を解きます。因数分解すると

$(x-8)(x+3) = 0$

よって、$x = 8$ または $x = -3$

3. 最終的な答え

(1) $x = -15$

(2) $x = 8, -3$