数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ という漸化式を満たします。この数列の一般項が $a_n = n^2 + pn + q$ と表されるとき、$p$ と $q$ の値、および$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_1 = 2$、$a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ という漸化式を満たします。この数列の一般項が $a_n = n^2 + pn + q$ と表されるとき、$p$ と $q$ の値、および$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$p$ と $q$ の値を求めます。

$a_1 = 2$ なので、$1^2 + p(1) + q = 2$ より、

$1 + p + q = 2$

$p + q = 1$

次に、$a_{n+1} = a_n + (2n+2)$ に $a_n = n^2 + pn + q$ を代入します。

$(n+1)^2 + p(n+1) + q = n^2 + pn + q + (2n + 2)$

$n^2 + 2n + 1 + pn + p + q = n^2 + pn + q + 2n + 2$

$2n + 1 + pn + p = pn + 2n + 2$

$1 + p = 2$

$p = 1$

$p + q = 1$ に $p=1$ を代入すると、

$1 + q = 1$

$q = 0$

したがって、$a_n = n^2 + n = n(n+1)$ です。

これで、$a_1=1*2=2$ になり条件を満たします。

次に、$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算します。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ なので、

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= (\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{10} - \frac{1}{11})$

$= 1 - \frac{1}{11} = \frac{11}{11} - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k} = \frac{10}{11}$