全体集合 $U$ が $U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$ であり、部分集合 $A$ が $A = \{1, 2, 5, 7, 8\}$、部分集合 $B$ が $B = \{2, 3, 8, 10\}$ であるとき、以下の集合をそれぞれ求めます。 ① $\overline{A} \cap B$ ② $A \cup \overline{B}$ ③ $\overline{A} \cap \overline{B}$ ④ $\overline{A \cup B}$ ⑤ $A \cap \overline{B}$ ⑥ $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ が $U = \{x | 1 \le x \le 10, xは整数\}$ であり、部分集合 $A$ が $A = \{1, 2, 5, 7, 8\}$、部分集合 $B$ が $B = \{2, 3, 8, 10\}$ であるとき、以下の集合をそれぞれ求めます。

① $\overline{A} \cap B$

② $A \cup \overline{B}$

③ $\overline{A} \cap \overline{B}$

④ $\overline{A \cup B}$

⑤ $A \cap \overline{B}$

⑥ $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き下します。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

次に、$A$ と $B$ の補集合 $\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{3, 4, 6, 9, 10\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

それぞれの集合を計算します。

① $\overline{A} \cap B = \{3, 4, 6, 9, 10\} \cap \{2, 3, 8, 10\} = \{3, 10\}$

② $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cup \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

③ $\overline{A} \cap \overline{B} = \{3, 4, 6, 9, 10\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{4, 6, 9\}$

④ $A \cup B = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cup \{2, 3, 8, 10\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A \cup B} = U - (A \cup B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} - \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\} = \{4, 6, 9\}$

⑤ $A \cap \overline{B} = \{1, 2, 5, 7, 8\} \cap \{1, 4, 5, 6, 7, 9\} = \{1, 5, 7\}$

⑥ 問題文より$\overline{A\cup B}$なので、④より$\{4,6,9\}$

3. 最終的な答え

① $\overline{A} \cap B = \{3, 10\}$

② $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

③ $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

④ $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

⑤ $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

⑥ $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$