問題2は、全体集合 $U$ が実数全体であり、集合 $A = \{x | 3 \le x \le 7\}$ と集合 $B = \{x | 5 < x < 10\}$ が与えられたときに、以下の集合を求める問題です。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

問題2は、全体集合 $U$ が実数全体であり、集合 $A = \{x | 3 \le x \le 7\}$ と集合 $B = \{x | 5 < x < 10\}$ が与えられたときに、以下の集合を求める問題です。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分です。

$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$ であり、$B = \{x | 5 < x < 10\}$ であるので、$A \cap B = \{x | 5 < x \le 7\}$ となります。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合です。

$A = \{x | 3 \le x \le 7\}$ であり、$B = \{x | 5 < x < 10\}$ であるので、$A \cup B = \{x | 3 \le x < 10\}$ となります。

(3) $\overline{A} \cup \overline{B}$ は、$A$ の補集合と $B$ の補集合の和集合です。

$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ or } x > 7\}$ であり、$\overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x \ge 10\}$ であるので、$\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x \ge 3\}$ となります。

これは全体集合と等しくなるので、 $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x \in \mathbb{R}\}$ です。

または、$A \cap B$ のド・モルガンの法則 $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ を用いると、

$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B} = \overline{\{x | 5 < x \le 7\}} = \{x | x \le 5 \text{ or } x > 7\}$ となります。

(4) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は、$A$ の補集合と $B$ の補集合の共通部分です。

$\overline{A} = \{x | x < 3 \text{ or } x > 7\}$ であり、$\overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x \ge 10\}$ であるので、$\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ or } x \ge 10\}$ となります。

または、$A \cup B$ のド・モルガンの法則 $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ を用いると、

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B} = \overline{\{x | 3 \le x < 10\}} = \{x | x < 3 \text{ or } x \ge 10\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 5 < x \le 7\}$

(2) $A \cup B = \{x | 3 \le x < 10\}$

(3) $\overline{A} \cup \overline{B} = \{x | x \le 5 \text{ or } x > 7\}$

(4) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{x | x < 3 \text{ or } x \ge 10\}$