与えられた3つの連立一次方程式について、それぞれ解が存在するかどうかを調べ、解が存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

1. 問題の内容

与えられた3つの連立一次方程式について、それぞれ解が存在するかどうかを調べ、解が存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

2. 解き方の手順

(1) の連立一次方程式

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 5$

まず、この連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -3 \\ 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

次に、拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -4 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後の行は $0 = 1$ を意味するため、この連立方程式は解を持ちません。

(2) の連立一次方程式

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 4$

同様に、拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の3倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \end{pmatrix}$

3行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この場合、最後の行は $0=0$ となり、矛盾はありません。変数 $z$ を自由変数とします。$z = t$ とおきます。

2行目から、$4y - 7t = -5$ となるので、$y = \frac{7t - 5}{4}$ です。

1行目から、$x - y + 2z = 3$ となるので、$x = y - 2z + 3 = \frac{7t - 5}{4} - 2t + 3 = \frac{7t - 5 - 8t + 12}{4} = \frac{-t + 7}{4}$ です。

したがって、解は $(x, y, z) = (\frac{-t + 7}{4}, \frac{7t - 5}{4}, t)$ です。

(3) の連立一次方程式

$x + y + 3z - w = 1$

$3x + 2y + z + w = 2$

$x - y - 2z + 4w = 3$

$2x + 3y - z + 3w = 0$

拡大係数行列を作成し、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

2行目から1行目の3倍を引き、3行目から1行目を引き、4行目から1行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

2行目に -1 をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

3行目に2行目の2倍を足し、4行目から2行目を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -15 & 9 & -3 \end{pmatrix}$

4行目に 3/5 を掛けます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -3 & 9/5 & -3/5 \end{pmatrix}$

3行目と4行目を入れ替えます

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -3 & 9/5 & -3/5 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \end{pmatrix}$

3行目に　-1/3をかけます

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3/5 & 1/5 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \end{pmatrix}$

4行目に3行目の-11倍を足します

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3/5 & 1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 18/5 & 9/5 \end{pmatrix}$

4行目に5/18をかけます。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -3/5 & 1/5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1/2 \end{pmatrix}$

逆向きに解いていくと、

$w = 1/2$

$z = (3/5)(1/2) + (1/5) = 3/10 + 2/10 = 5/10 = 1/2$

$y = -8(1/2) + 4(1/2) + 1 = -4 + 2 + 1 = -1$

$x = -y - 3z + w + 1 = 1 - 3(1/2) + (1/2) + 1 = 2 - 3/2 + 1/2 = 2 - 1 = 1$

したがって、解は $(x, y, z, w) = (1, -1, 1/2, 1/2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) $(x, y, z) = (\frac{-t + 7}{4}, \frac{7t - 5}{4}, t)$ (tは任意の実数)

(3) $(x, y, z, w) = (1, -1, 1/2, 1/2)$