全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合の要素の個数(n)をそれぞれ求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $A \cap \overline{B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ と $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合の要素の個数(n)をそれぞれ求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分なので、$A \cap B = \{2, 4\}$ となる。したがって、$n(A \cap B) = 2$。

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合なので、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ となる。したがって、$n(A \cup B) = 5$。

(3) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合、つまり全体集合 $U$ の中で $A \cup B$ に含まれない要素の集合である。$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ より、$\overline{A \cup B} = \{5, 7\}$ となる。したがって、$n(\overline{A \cup B}) = 2$。

(4) $\overline{B}$ は、$B$ の補集合、つまり全体集合 $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合である。$B = \{2, 4, 6\}$ より、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$ となる。

$A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$ となる。したがって、$n(A \cap \overline{B}) = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $n(A \cap B) = 2$

(2) $n(A \cup B) = 5$

(3) $n(\overline{A \cup B}) = 2$

(4) $n(A \cap \overline{B}) = 2$