画像に書かれている式 $(3x+2)^5 <x^2>$ の意味を解釈し、適切な処理を行います。ここで、$<x^2>$ は、多項式を展開した後、$x^2$ の係数を求めることを意味すると解釈します。

1. 問題の内容

画像に書かれている式 $(3x+2)^5 <x^2>$ の意味を解釈し、適切な処理を行います。ここで、$<x^2>$ は、多項式を展開した後、$x^2$ の係数を求めることを意味すると解釈します。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて $(3x+2)^5$ を展開し、$x^2$ の項の係数を求めます。

二項定理より、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

この式に $a=3x$, $b=2$, $n=5$ を代入すると、

$(3x+2)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (3x)^{5-k} 2^k$

$x^2$ の項は、$5-k=2$ となる $k$ について得られます。すなわち、$k=3$ の場合です。

$k=3$ のとき、項は

$\binom{5}{3} (3x)^{5-3} 2^3 = \binom{5}{3} (3x)^2 2^3 = \binom{5}{3} 9x^2 8 = \frac{5!}{3!2!} \cdot 72 x^2 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 72 x^2 = 10 \cdot 72 x^2 = 720 x^2$

したがって、$x^2$ の係数は 720 です。

3. 最終的な答え

720