与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、シグマの性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 7k + 4) = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、それぞれの和の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入します。

$3 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 7 \sum_{k=1}^{n} k + 4 \sum_{k=1}^{n} 1 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 7 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 4n$

式を整理します。

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{7n(n+1)}{2} + 4n$

$= \frac{n}{2} [(n+1)(2n+1) - 7(n+1) + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 + 3n + 1 - 7n - 7 + 8]$

$= \frac{n}{2} [2n^2 - 4n + 2]$

$= n(n^2 - 2n + 1)$

$= n(n-1)^2$

3. 最終的な答え

$n(n-1)^2$