問題文はウェーブマシンという装置における波の伝播に関するもので、以下の4つの問いに答えます。 問1：この波の振動数は何Hzか。 問2：この波の伝わる速さは何cm/sか。 問3：この波の、$x=25$ cmの位置での、$t=0.75$ sにおける変位は何cmか。 問4：$t=0$ s以降で、棒Aの端($x=0$ cm)の変位が$0$ cmで、振動の速度がy軸の正の向きとなる時刻を表す式はどのようになるか。0以上の整数n ($n=0, 1, 2, 3,...$)を用いて答えよ。

1. 問題の内容

問題文はウェーブマシンという装置における波の伝播に関するもので、以下の4つの問いに答えます。

問1：この波の振動数は何Hzか。

問2：この波の伝わる速さは何cm/sか。

問3：この波の、$x=25$ cmの位置での、$t=0.75$ sにおける変位は何cmか。

問4：$t=0$ s以降で、棒Aの端($x=0$ cm)の変位が$0$ cmで、振動の速度がy軸の正の向きとなる時刻を表す式はどのようになるか。0以上の整数n ($n=0, 1, 2, 3,...$)を用いて答えよ。

2. 解き方の手順

問1：

振動数$f$は周期$T$の逆数で表されます。

$f = \frac{1}{T}$

問題文より、周期$T = 0.50$ sなので、

$f = \frac{1}{0.50} = 2$ Hz

問2：

波の速さ$v$は、波長$\lambda$と振動数$f$の積で表されます。

$v = \lambda f$

問題文より、波長$\lambda = 20$ cm、問1より振動数$f = 2$ Hzなので、

$v = 20 \times 2 = 40$ cm/s

問3：

波の基本式は、

$y(x,t) = A\sin(2\pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}))$

ここで、$A$は振幅、$T$は周期、$\lambda$は波長です。

問題文より、$A = 10$ cm、$T = 0.50$ s、$\lambda = 20$ cm、$x = 25$ cm、$t = 0.75$ sを代入します。

$y(25, 0.75) = 10\sin(2\pi(\frac{0.75}{0.50} - \frac{25}{20})) = 10\sin(2\pi(\frac{3}{2} - \frac{5}{4})) = 10\sin(2\pi(\frac{6}{4} - \frac{5}{4})) = 10\sin(2\pi(\frac{1}{4})) = 10\sin(\frac{\pi}{2}) = 10 \times 1 = 10$ cm

問4：

棒Aの端 ($x=0$ cm) の変位が0 cmで、振動の速度がy軸の正の向きとなるのは、波の式において、$y(0,t) = 0$ かつ、$\frac{dy}{dt}(0,t) > 0$となる時です。

波の式は、$y(0, t) = A\sin(2\pi\frac{t}{T})$です。これが$0$となるのは、$2\pi\frac{t}{T} = n\pi$ ($n$は整数) のときです。

したがって、$t = \frac{nT}{2}$です。

次に、$\frac{dy}{dt}(0,t) = A\frac{2\pi}{T}\cos(2\pi\frac{t}{T})$です。

これが正となるのは、$\cos(2\pi\frac{t}{T}) > 0$ のときです。

$t = \frac{nT}{2}$を代入すると、$\cos(n\pi) > 0$となります。

$\cos(n\pi) > 0$となるのは、$n$が偶数のときです。

したがって、$n = 2k$ ($k=0, 1, 2, ...$) とすると、$t = \frac{2kT}{2} = kT$となります。

$T = 0.50$ sなので、$t = k \times 0.50$ s = $0.5n$ s ($n = 0,1,2,...$)

3. 最終的な答え

問1：2 Hz

問2：40 cm/s

問3：10 cm

問4：$t=0.5n$ s ($n=0, 1, 2, 3,...$)