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与えられた式 $4x^4 + 7x^2 + 16$ を因数分解せよ。

代数学因数分解多項式平方完成二次式判別式
2025/5/25

1. 問題の内容

与えられた式 4x4+7x2+164x^4 + 7x^2 + 16 を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与式を平方完成の形に変形することを試みます。
4x4+7x2+16=4x4+16x2+16−9x24x^4 + 7x^2 + 16 = 4x^4 + 16x^2 + 16 - 9x^2
=(2x2+4)2−(3x)2= (2x^2 + 4)^2 - (3x)^2
これは、A2−B2=(A+B)(A−B)A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) の形なので、因数分解できます。
(2x2+4)2−(3x)2=(2x2+4+3x)(2x2+4−3x)(2x^2 + 4)^2 - (3x)^2 = (2x^2 + 4 + 3x)(2x^2 + 4 - 3x)
=(2x2+3x+4)(2x2−3x+4)= (2x^2 + 3x + 4)(2x^2 - 3x + 4)
それぞれの2次式がさらに因数分解できるか確認します。
2x2+3x+42x^2 + 3x + 4 の判別式 D1=32−4×2×4=9−32=−23<0D_1 = 3^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0
2x2−3x+42x^2 - 3x + 4 の判別式 D2=(−3)2−4×2×4=9−32=−23<0D_2 = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 9 - 32 = -23 < 0
どちらの判別式も負なので、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

(2x2+3x+4)(2x2−3x+4)(2x^2 + 3x + 4)(2x^2 - 3x + 4)

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