与えられた式 $\frac{1}{2+\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1}$ を計算して、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{2+\sqrt{5}} + \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1}$ を計算して、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

一つ目の分数 $\frac{1}{2+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $2-\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{1}{2+\sqrt{5}} = \frac{1}{2+\sqrt{5}} \times \frac{2-\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} = \frac{2-\sqrt{5}}{4-5} = \frac{2-\sqrt{5}}{-1} = -2+\sqrt{5}$

次に、二つ目の分数 $\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5}-1$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} = \frac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}-1)}{5-1} = \frac{5-\sqrt{5}-3\sqrt{5}+3}{4} = \frac{8-4\sqrt{5}}{4} = 2-\sqrt{5}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$-2+\sqrt{5} + 2-\sqrt{5}$

$-2+\sqrt{5} + 2-\sqrt{5} = (-2+2) + (\sqrt{5}-\sqrt{5}) = 0 + 0 = 0$

3. 最終的な答え

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