数列 $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $1^2, 3^2, 5^2, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列は、奇数の二乗の数列です。

第 $k$ 項は、 $(2k-1)^2$ と表されます。

したがって、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、次のようになります。

$S_n = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2$

$S_n = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$

$S_n = 4\sum_{k=1}^n k^2 - 4\sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

ここで、次の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

これらを $S_n$ の式に代入します。

$S_n = 4\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\frac{n(n+1)}{2} + n$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$

$S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3}$

$S_n = \frac{n[2(n+1)(2n+1) - 6(n+1) + 3]}{3}$

$S_n = \frac{n[2(2n^2+3n+1) - 6n - 6 + 3]}{3}$

$S_n = \frac{n[4n^2 + 6n + 2 - 6n - 3]}{3}$

$S_n = \frac{n(4n^2 - 1)}{3}$

$S_n = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

または

$\frac{4n^3 - n}{3}$