与えられた三角方程式について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で厳密解を求める問題です。 (a) $2\sin{\theta} + \sqrt{3} = 0$ (b) $2\cos{\theta} - 1 = 0$ (c) $2\sin^2{\theta} - 1 = 0$ (d) $\tan^2{\theta} - 1 = 0$ (e) $\sqrt{3}\sec{\theta} + 2 = 0$ (f) $\csc^2{\theta} - 1 = 0$

1. 問題の内容

与えられた三角方程式について、$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で厳密解を求める問題です。

(a) $2\sin{\theta} + \sqrt{3} = 0$

(b) $2\cos{\theta} - 1 = 0$

(c) $2\sin^2{\theta} - 1 = 0$

(d) $\tan^2{\theta} - 1 = 0$

(e) $\sqrt{3}\sec{\theta} + 2 = 0$

(f) $\csc^2{\theta} - 1 = 0$

2. 解き方の手順

(a)

$2\sin{\theta} + \sqrt{3} = 0$ を解く。

$\sin{\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位円でサインが $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角度を探すと、$\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(b)

$2\cos{\theta} - 1 = 0$ を解く。

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

単位円でコサインが $\frac{1}{2}$ となる角度を探すと、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(c)

$2\sin^2{\theta} - 1 = 0$ を解く。

$\sin^2{\theta} = \frac{1}{2}$

$\sin{\theta} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角度は $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$\sin{\theta} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角度は $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(d)

$\tan^2{\theta} - 1 = 0$ を解く。

$\tan^2{\theta} = 1$

$\tan{\theta} = \pm 1$

$\tan{\theta} = 1$ となる角度は $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$

$\tan{\theta} = -1$ となる角度は $\theta = \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(e)

$\sqrt{3}\sec{\theta} + 2 = 0$ を解く。

$\sec{\theta} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$

$\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

単位円でコサインが $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる角度を探すと、$\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(f)

$\csc^2{\theta} - 1 = 0$ を解く。

$\csc^2{\theta} = 1$

$\csc{\theta} = \pm 1$

$\sin{\theta} = \pm 1$

$\sin{\theta} = 1$ となる角度は $\theta = \frac{\pi}{2}$

$\sin{\theta} = -1$ となる角度は $\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

(a) $\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(b) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(c) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(d) $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(e) $\theta = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$

(f) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$