与えられた3つの高次方程式を解きます。 (1) $x^3 = 27$ (2) $x^4 - x^2 - 6 = 0$ (3) $(x^2 - 2x)^2 - (x^2 - 2x) - 6 = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの高次方程式を解きます。

(1) $x^3 = 27$

(2) $x^4 - x^2 - 6 = 0$

(3) $(x^2 - 2x)^2 - (x^2 - 2x) - 6 = 0$

2. 解き方の手順

(1)

$x^3 = 27$ を $x^3 - 27 = 0$ と変形します。

$x^3 - 3^3 = 0$ と書けます。

因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$(x - 3)(x^2 + 3x + 9) = 0$ となります。

よって、$x - 3 = 0$ または $x^2 + 3x + 9 = 0$ です。

$x - 3 = 0$ より、$x = 3$ です。

$x^2 + 3x + 9 = 0$ に対して、解の公式を用いると、

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$

したがって、$x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$ です。

(2)

$x^4 - x^2 - 6 = 0$ において、$y = x^2$ とおくと、$y^2 - y - 6 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(y - 3)(y + 2) = 0$ となります。

よって、$y = 3$ または $y = -2$ です。

$y = x^2$ なので、$x^2 = 3$ または $x^2 = -2$ です。

$x^2 = 3$ より、$x = \pm \sqrt{3}$ です。

$x^2 = -2$ より、$x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i$ です。

したがって、$x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$ です。

(3)

$(x^2 - 2x)^2 - (x^2 - 2x) - 6 = 0$ において、$y = x^2 - 2x$ とおくと、$y^2 - y - 6 = 0$ となります。

これを因数分解すると、$(y - 3)(y + 2) = 0$ となります。

よって、$y = 3$ または $y = -2$ です。

$y = x^2 - 2x$ なので、$x^2 - 2x = 3$ または $x^2 - 2x = -2$ です。

$x^2 - 2x = 3$ より、$x^2 - 2x - 3 = 0$ であり、$(x - 3)(x + 1) = 0$ と因数分解できます。

よって、$x = 3, -1$ です。

$x^2 - 2x = -2$ より、$x^2 - 2x + 2 = 0$ です。

解の公式を用いると、$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$ です。

したがって、$x = 3, -1, 1 + i, 1 - i$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3, \frac{-3 + 3\sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 - 3\sqrt{3}i}{2}$

(2) $x = \sqrt{3}, -\sqrt{3}, \sqrt{2}i, -\sqrt{2}i$

(3) $x = 3, -1, 1 + i, 1 - i$