与えられた方程式は、$2 \log_{10}(x-2) = \log_{10}9$ です。この方程式を解いて、$x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式は、$2 \log_{10}(x-2) = \log_{10}9$ です。この方程式を解いて、$x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して、左辺の係数を対数の真数部分の指数にします。

$$\log_{10}(x-2)^2 = \log_{10}9$$

次に、両辺の対数の真数部分が等しいことから、

$$(x-2)^2 = 9$$

この式を展開して解きます。

$$x^2 - 4x + 4 = 9$$

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

この二次方程式を因数分解します。

$$(x-5)(x+1) = 0$$

したがって、$x=5$ または $x=-1$ が得られます。

しかし、$x=-1$ を元の対数方程式に代入すると、$\log_{10}(-1-2) = \log_{10}(-3)$ となり、対数の真数が負になるため、この解は不適です。一方、$x=5$ を代入すると、$\log_{10}(5-2) = \log_{10}(3)$ となり、真数は正なので、$x=5$ は解として適切です。

3. 最終的な答え

$x = 5$