次の式を因数分解する問題です。 1. $x^3 + 27$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する問題です。

1. $x^3 + 27$

2. $125x^3 - y^3$

3. $x^6 - y^6$

4. $x^6 - 124x^3 - 125$

2. 解き方の手順

1. $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$ なので、和の3乗の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用します。

$x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2 - 3x + 9)$

2. $125x^3 - y^3 = (5x)^3 - y^3$ なので、差の3乗の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ を利用します。

$(5x)^3 - y^3 = (5x-y)((5x)^2 + 5xy + y^2) = (5x-y)(25x^2 + 5xy + y^2)$

3. $x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2$ なので、まず二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 + y^3)(x^3 - y^3)$

次に、和の3乗の公式と差の3乗の公式を利用します。

$(x^3 + y^3)(x^3 - y^3) = (x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

4. $x^6 - 124x^3 - 125$ を因数分解します。

$x^3 = X$ とおくと、$X^2 - 124X - 125$ となります。

これは $X^2 - 124X - 125 = (X - 125)(X + 1)$ と因数分解できます。

$X$ を $x^3$ に戻すと、$(x^3 - 125)(x^3 + 1)$ となります。

ここで、差の3乗の公式と和の3乗の公式を利用します。

$(x^3 - 125)(x^3 + 1) = (x^3 - 5^3)(x^3 + 1^3) = (x-5)(x^2 + 5x + 25)(x+1)(x^2 - x + 1)$

したがって、$(x-5)(x^2 + 5x + 25)(x+1)(x^2 - x + 1)$となります。

3. 最終的な答え

1. $(x+3)(x^2 - 3x + 9)$

2. $(5x-y)(25x^2 + 5xy + y^2)$

3. $(x+y)(x^2 - xy + y^2)(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

4. $(x-5)(x^2 + 5x + 25)(x+1)(x^2 - x + 1)$