$(3x^2 - 1)^5$の展開における$x^6$の係数を求めます。

1. 問題の内容

$(3x^2 - 1)^5$の展開における$x^6$の係数を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて、$(3x^2 - 1)^5$を展開します。一般項は次のようになります。

${}_5 C_k (3x^2)^{5-k} (-1)^k$

ここで、$x^6$の項を探すためには、$2(5-k) = 6$となる必要があります。

したがって、$5-k = 3$となり、$k = 2$です。

$k=2$を一般項に代入すると、

${}_5 C_2 (3x^2)^{5-2} (-1)^2 = {}_5 C_2 (3x^2)^3 (-1)^2$

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(3x^2)^3 = 3^3 (x^2)^3 = 27x^6$

したがって、$x^6$の係数は、

$10 \times 27 \times 1 = 270$

3. 最終的な答え

270