$a, b$ は有理数とする。$a + b\sqrt{2} = 0$ のとき、$a = b = 0$ である。この性質を用いて、$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ は有理数とする。$a + b\sqrt{2} = 0$ のとき、$a = b = 0$ である。この性質を用いて、$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$ を満たす有理数 $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形して、$\sqrt{2}$ が含まれる項と含まれない項に分ける。

$(1 + \sqrt{2})x + (-2 + 3\sqrt{2})y = 10$

$x + x\sqrt{2} - 2y + 3y\sqrt{2} = 10$

$(x - 2y) + (x + 3y)\sqrt{2} = 10$

$x - 2y$ と $x + 3y$ は有理数である。10は有理数なので、右辺を $10 + 0\sqrt{2}$ と考えると、

$x - 2y = 10$

$x + 3y = 0$

という2つの式が得られる。この連立方程式を解く。

2つ目の式から、$x = -3y$ が得られる。これを1つ目の式に代入する。

$-3y - 2y = 10$

$-5y = 10$

$y = -2$

これを $x = -3y$ に代入して、$x$ を求める。

$x = -3(-2) = 6$

3. 最終的な答え

$x = 6, y = -2$