数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期条件は $a_1 = 2$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 4n + 3$ で定義されています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。初期条件は $a_1 = 2$ であり、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 4n + 3$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 4n + 3$ から、$a_{n+1} - a_n = 4n + 3$ が得られます。これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $4n+3$ であることを意味します。

$n \geq 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+3)$$

$$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k+3)$$

$$a_n = 2 + 4\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 3$$

$$a_n = 2 + 4\frac{(n-1)n}{2} + 3(n-1)$$

$$a_n = 2 + 2n(n-1) + 3n - 3$$

$$a_n = 2 + 2n^2 - 2n + 3n - 3$$

$$a_n = 2n^2 + n - 1$$

この式が $n=1$ のときも成り立つか確認します。

$a_1 = 2(1)^2 + 1 - 1 = 2$ なので、初期条件 $a_1 = 2$ を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = 2n^2 + n - 1$