(1) 不等式 $2|x| + |x-1| > 5$ の解を求める。 (2) 等式 $|x - |x-2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。 (3) 方程式 $4||x-1| - 1| = x+2$ の解をすべて求める。 (4) 方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ の解を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $2|x| + |x-1| > 5$ の解を求める。

(2) 等式 $|x - |x-2|| = 1$ を満たす実数 $x$ をすべて求める。

(3) 方程式 $4||x-1| - 1| = x+2$ の解をすべて求める。

(4) 方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2|x| + |x-1| > 5$ を解く。

場合分けを行う。

(i) $x < 0$ のとき: $-2x + (1-x) > 5 \Rightarrow -3x > 4 \Rightarrow x < -\frac{4}{3}$

(ii) $0 \le x < 1$ のとき: $2x + (1-x) > 5 \Rightarrow x > 4$。これは $0 \le x < 1$ を満たさない。

(iii) $x \ge 1$ のとき: $2x + (x-1) > 5 \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2$

したがって、$x < -\frac{4}{3}$ または $x > 2$。

(2) 等式 $|x - |x-2|| = 1$ を解く。

(i) $x \ge 2$ のとき: $|x - (x-2)| = 1 \Rightarrow |2| = 1$。これは成り立たない。

(ii) $x < 2$ のとき: $|x - (2-x)| = 1 \Rightarrow |2x - 2| = 1 \Rightarrow 2|x-1| = 1 \Rightarrow |x-1| = \frac{1}{2}$

よって、$x-1 = \frac{1}{2}$ または $x-1 = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ または $x = \frac{1}{2}$

$\frac{3}{2} < 2$ かつ $\frac{1}{2} < 2$ より、どちらも解である。

(3) 方程式 $4||x-1| - 1| = x+2$ を解く。

(i) $x \ge 1$ のとき: $4|x-1-1| = x+2 \Rightarrow 4|x-2| = x+2$

(i-a) $x \ge 2$ のとき: $4(x-2) = x+2 \Rightarrow 4x-8 = x+2 \Rightarrow 3x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$

(i-b) $1 \le x < 2$ のとき: $4(2-x) = x+2 \Rightarrow 8-4x = x+2 \Rightarrow 5x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{5}$

(ii) $x < 1$ のとき: $4|1-x-1| = x+2 \Rightarrow 4|-x| = x+2 \Rightarrow 4|x| = x+2$

(ii-a) $x \ge 0$ のとき: $4x = x+2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

(ii-b) $x < 0$ のとき: $-4x = x+2 \Rightarrow -5x = 2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}$

したがって、$x = \frac{10}{3}, \frac{6}{5}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{5}$

(4) 方程式 $|x+3| = 2\sqrt{(x+1)^2 + 1}$ を解く。

両辺を2乗して、$(x+3)^2 = 4((x+1)^2 + 1) \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = 4(x^2 + 2x + 1 + 1) \Rightarrow x^2 + 6x + 9 = 4x^2 + 8x + 8 \Rightarrow 3x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow (3x - 1)(x+1) = 0$

よって、$x = \frac{1}{3}$ または $x = -1$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、 $|\frac{1}{3}+3| = \frac{10}{3}$ であり、$2\sqrt{(\frac{1}{3}+1)^2 + 1} = 2\sqrt{(\frac{4}{3})^2 + 1} = 2\sqrt{\frac{16}{9} + \frac{9}{9}} = 2\sqrt{\frac{25}{9}} = 2\cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$

$x = -1$ のとき、 $|-1+3| = 2$ であり、$2\sqrt{(-1+1)^2 + 1} = 2\sqrt{0+1} = 2$

よって、$x = -1$ および $x = \frac{1}{3}$ は解である。

ただし、$-1 < \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{4}{3}, x > 2$

(2) $x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

(3) $x = -\frac{2}{5}, \frac{2}{3}, \frac{6}{5}, \frac{10}{3}$

(4) $x = -1, \frac{1}{3}$. ただし, $-1 < \frac{1}{3}$