与えられた6つの数式をそれぞれ計算する問題です。 (1) $\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27}$ (2) $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32}$ (3) $\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}}$ (4) $\log_2(4\sqrt{8})$ (5) $2^{-\log_2 3 - \log_{16} 2}$ (6) $(\log_4 3 - \log_8 3)(\log_3 4 - \log_9 2)$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた6つの数式をそれぞれ計算する問題です。

(1) $\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27}$

(2) $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32}$

(3) $\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}}$

(4) $\log_2(4\sqrt{8})$

(5) $2^{-\log_2 3 - \log_{16} 2}$

(6) $(\log_4 3 - \log_8 3)(\log_3 4 - \log_9 2)$

2. 解き方の手順

各問題を順番に解いていきます。

(1) $\sqrt[4]{81} \div \sqrt[3]{-27}$

$\sqrt[4]{81} = 3$

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$3 \div (-3) = -1$

(2) $\sqrt[3]{-8} \times \sqrt[5]{32}$

$\sqrt[3]{-8} = -2$

$\sqrt[5]{32} = 2$

$-2 \times 2 = -4$

(3) $\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}}$

$\frac{\sqrt[3]{5^2} \times \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{5}} = \frac{5^{\frac{2}{3}} \times 5^{\frac{1}{4}}}{5^{\frac{1}{6}}} = 5^{\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}} = 5^{\frac{8+3-2}{12}} = 5^{\frac{9}{12}} = 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$

(4) $\log_2(4\sqrt{8})$

$\log_2(4\sqrt{8}) = \log_2(4 \times \sqrt{2^3}) = \log_2(2^2 \times 2^{\frac{3}{2}}) = \log_2(2^{2 + \frac{3}{2}}) = \log_2(2^{\frac{7}{2}}) = \frac{7}{2}$

(5) $2^{-\log_2 3 - \log_{16} 2}$

$2^{-\log_2 3 - \log_{16} 2} = 2^{-\log_2 3 - \log_{2^4} 2} = 2^{-\log_2 3 - \frac{1}{4}\log_2 2} = 2^{-\log_2 3 - \frac{1}{4}} = 2^{-\log_2 3} \times 2^{-\frac{1}{4}} = (2^{\log_2 3})^{-1} \times \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = 3^{-1} \times \frac{1}{\sqrt[4]{2}} = \frac{1}{3\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[4]{8}}{6}$

(6) $(\log_4 3 - \log_8 3)(\log_3 4 - \log_9 2)$

$(\log_4 3 - \log_8 3)(\log_3 4 - \log_9 2) = (\frac{\log_2 3}{\log_2 4} - \frac{\log_2 3}{\log_2 8})(\frac{\log_3 4}{\log_3 3} - \frac{\log_3 2}{\log_3 9}) = (\frac{\log_2 3}{2} - \frac{\log_2 3}{3})(\frac{\log_3 4}{1} - \frac{\log_3 2}{2}) = (\frac{3\log_2 3 - 2\log_2 3}{6})(2\log_3 4 - \log_3 2)/2 = (\frac{\log_2 3}{6})(\frac{\log_3 16 - \log_3 2}{2}) = (\frac{\log_2 3}{6})(\frac{\log_3 8}{2}) = \frac{\log_2 3}{6} \times \frac{3\log_3 2}{2} = \frac{3\log_2 3 \times \log_3 2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) -4

(3) $\sqrt[4]{125}$

(4) $\frac{7}{2}$

(5) $\frac{\sqrt[4]{8}}{6}$

(6) $\frac{1}{4}$