$x + y = 2$ $xy = 3$

## 解答

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1. 問題の内容

画像に記載された数学の問題のうち、次の問題について解答します。

* **⑧ 和が2、積が3であるような2数を求めよ。**

* **⑨ 2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。**

* **(1) $\alpha + \beta$**

* **(2) $\alpha \beta$**

* **(3) $\alpha^2 + \beta^2$**

* **(4) $\alpha^3 + \beta^3$**

* **(5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$**

* **(6) $\alpha^5 + \beta^5$**

* **⑩ 2次方程式 $x^2 + 6x + m = 0$ において、1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。**

* **⑪ $P(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2$ を次の1次式で割った余りを求めよ。**

* **(1) $x - 1$**

* **(2) $2x + 1$**

* **⑫ 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5ax^2 + ax + 1$ を $x + 1$ で割った余りが $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。**

* **⑬ 次の方程式を解け。**

* **(1) $(x - 1)(x^2 + 3x + 2) = 0$**

* **(2) $x^3 - 8 = 0$**

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2. 解き方の手順

**⑧ 和が2、積が3であるような2数を求めよ。**

1. 求める2数を $x, y$ とおくと、以下の連立方程式が成り立つ。

$x + y = 2$

$xy = 3$

2. $x + y = 2$ より、$y = 2 - x$ である。これを $xy = 3$ に代入すると、

$x(2 - x) = 3$

$2x - x^2 = 3$

$x^2 - 2x + 3 = 0$

3. この2次方程式を解の公式を用いて解くと、

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i$

4. $x = 1 + \sqrt{2}i$ のとき $y = 2 - (1 + \sqrt{2}i) = 1 - \sqrt{2}i$

$x = 1 - \sqrt{2}i$ のとき $y = 2 - (1 - \sqrt{2}i) = 1 + \sqrt{2}i$

**⑨ 2次方程式 $x^2 - 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。**

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 2$

$\alpha \beta = 3$

(1) $\alpha + \beta = 2$

(2) $\alpha \beta = 3$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 2^2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$

(4) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta) = 2(2^2 - 3 \cdot 3) = 2(4 - 9) = 2(-5) = -10$

(5) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 3 \cdot 2 = 6$

(6) $\alpha^5 + \beta^5 = (\alpha^2 + \beta^2)(\alpha^3 + \beta^3) - \alpha^2\beta^2 (\alpha + \beta) = (-2)(-10) - 3^2(2) = 20 - 18 = 2$

**⑩ 2次方程式 $x^2 + 6x + m = 0$ において、1つの解が他の解の2倍であるとき、定数 $m$ の値を求めよ。**

1. 2つの解を $\alpha, 2\alpha$ とおく。

2. 解と係数の関係より、

$\alpha + 2\alpha = -6$

$\alpha \cdot 2\alpha = m$

3. $3\alpha = -6$ より $\alpha = -2$

4. したがって $m = 2\alpha^2 = 2(-2)^2 = 2 \cdot 4 = 8$

**⑪ $P(x) = x^3 + x^2 - 3x - 2$ を次の1次式で割った余りを求めよ。**

(1) $x - 1$ で割った余り

剰余の定理より、余りは $P(1)$ に等しい。

$P(1) = 1^3 + 1^2 - 3(1) - 2 = 1 + 1 - 3 - 2 = -3$

(2) $2x + 1$ で割った余り

$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

剰余の定理より、余りは $P(-\frac{1}{2})$ に等しい。

$P(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^3 + (-\frac{1}{2})^2 - 3(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{1}{8} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{12}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{3}{8}$

**⑫ 多項式 $P(x) = 2x^3 + 5ax^2 + ax + 1$ を $x + 1$ で割った余りが $-5$ であるとき、定数 $a$ の値を求めよ。**

1. 剰余の定理より、$P(-1) = -5$ である。

2. $P(-1) = 2(-1)^3 + 5a(-1)^2 + a(-1) + 1 = -2 + 5a - a + 1 = 4a - 1$

3. $4a - 1 = -5$ より $4a = -4$

4. $a = -1$

**⑬ 次の方程式を解け。**

(1) $(x - 1)(x^2 + 3x + 2) = 0$

1. $x - 1 = 0$ より $x = 1$

2. $x^2 + 3x + 2 = 0$ を因数分解すると $(x + 1)(x + 2) = 0$ より $x = -1, -2$

よって、$x = 1, -1, -2$

(2) $x^3 - 8 = 0$

1. $x^3 = 8$

2. $x^3 - 2^3 = 0$ と変形し、因数分解すると $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$

3. $x - 2 = 0$ より $x = 2$

4. $x^2 + 2x + 4 = 0$ を解の公式で解くと $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$

よって、$x = 2, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$

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3. 最終的な答え

⑧ $1 + \sqrt{2}i$ と $1 - \sqrt{2}i$

⑨ (1) 2 (2) 3 (3) -2 (4) -10 (5) 6 (6) 2

⑩ $m = 8$

⑪ (1) -3 (2) $-\frac{3}{8}$

⑫ $a = -1$

⑬ (1) $x = 1, -1, -2$ (2) $x = 2, -1 + \sqrt{3}i, -1 - \sqrt{3}i$