(1) $0 < a < b < c$, $a \neq 1$, $b \neq 1$, $c \neq 1$ とする。 関数 $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ のグラフがすべて通る点の座標を求め、 $0 < a < 1 < b < c$ のときと $1 < a < b < c$ のときの $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ のグラフの概形を選択肢から選ぶ。 (2) $2^{\frac{1}{2}}$, $3^{\frac{1}{3}}$, $5^{\frac{1}{5}}$ の大小関係を求め、正の実数 $p, q, r$ が $2^p = 3^q = 5^r$ を満たすとき、$(\frac{2}{3})^{2p} = (\frac{3}{5})^{3q} = (\frac{5}{2})^{5r}$ が成り立つとして、$2p, 3q, 5r$ の大小関係を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

(1) $0 < a < b < c$, $a \neq 1$, $b \neq 1$, $c \neq 1$ とする。

関数 $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ のグラフがすべて通る点の座標を求め、

$0 < a < 1 < b < c$ のときと $1 < a < b < c$ のときの $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ のグラフの概形を選択肢から選ぶ。

(2) $2^{\frac{1}{2}}$, $3^{\frac{1}{3}}$, $5^{\frac{1}{5}}$ の大小関係を求め、正の実数 $p, q, r$ が $2^p = 3^q = 5^r$ を満たすとき、$(\frac{2}{3})^{2p} = (\frac{3}{5})^{3q} = (\frac{5}{2})^{5r}$ が成り立つとして、$2p, 3q, 5r$ の大小関係を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ は、いずれも $x = 0$ のとき $y = 1$ をとる。したがって、すべてのグラフは点 $(0, 1)$ を通る。

$0 < a < 1 < b < c$ のとき、

$y = a^x$ は単調減少関数、$y = b^x$ と $y = c^x$ は単調増加関数である。また、$x > 0$ のとき、$c^x > b^x$ であり、$x < 0$ のとき、$c^x < b^x$ である。これらの条件を満たすグラフは選択肢③である。

$1 < a < b < c$ のとき、

$y = a^x$, $y = b^x$, $y = c^x$ はいずれも単調増加関数である。また、$x > 0$ のとき、$c^x > b^x > a^x$ である。これらの条件を満たすグラフは選択肢０である。

(2)

$2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{15}{30}} = (2^{15})^{\frac{1}{30}}$, $3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}} = (3^{10})^{\frac{1}{30}}$, $5^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{6}{30}} = (5^6)^{\frac{1}{30}}$ である。

$2^{15} = 32768$, $3^{10} = 59049$, $5^6 = 15625$ であるから、$5^6 < 2^{15} < 3^{10}$ である。

よって、$5^{\frac{1}{5}} < 2^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{3}}$ となる。

$2^p = 3^q = 5^r = k$ とおくと、$2 = k^{\frac{1}{p}}$, $3 = k^{\frac{1}{q}}$, $5 = k^{\frac{1}{r}}$ である。

$(\frac{2}{3})^{2p} = (\frac{3}{5})^{3q} = (\frac{5}{2})^{5r}$ より、

$\frac{2^{2p}}{3^{2p}} = \frac{3^{3q}}{5^{3q}} = \frac{5^{5r}}{2^{5r}}$ である。

$2^p = 3^q = 5^r$ であるから、

$\frac{2^{2p}}{3^{2p}} = \frac{(2^p)^2}{(3^q)^2} = (\frac{k}{k})^2=1$

$\frac{3^{3q}}{5^{3q}} = \frac{(3^q)^3}{(5^r)^3} = (\frac{k}{k})^3 = 1$

$\frac{5^{5r}}{2^{5r}} = \frac{(5^r)^5}{(2^p)^5} = (\frac{k}{k})^5 = 1$

より、全て1となる。

$2^p = 3^q$ より、$2 = 3^{\frac{q}{p}}$

$3^q = 5^r$ より、$3 = 5^{\frac{r}{q}}$

$2^p = 5^r$ より、$2 = 5^{\frac{r}{p}}$

$2 < 3$ より、$5^{\frac{r}{p}} < 5^{\frac{r}{q}}$ となり、$\frac{r}{p} < \frac{r}{q}$

$r > 0$ より、$q < p$

$3 < 5$ より、$2^{\frac{p}{q}} < 2^{\frac{p}{r}}$

$\frac{p}{q} < \frac{p}{r}$ より、$r < q$

よって、$r < q < p$ である。

したがって、$5r < 3q < 2p$ である。

3. 最終的な答え

ア: (0, 1)

イ: ③

ウ: ０

エ: <

オ: <

カ: ⑤