全体集合$U$を10以下の自然数全体、$A=\{1, 3, 4, 6, 8\}$、$A \cap B = \{4, 6, 8\}$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$とするとき、以下の集合を求める。 (1) $B$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $A \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合$U$を10以下の自然数全体、$A=\{1, 3, 4, 6, 8\}$、$A \cap B = \{4, 6, 8\}$、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$とするとき、以下の集合を求める。

(1) $B$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $A \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

(1) $B$を求める。

$A \cup B$ は $A$ と $B$ の要素をすべて含んでいる集合であり、$A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$、 $A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$、 $A \cap B = \{4, 6, 8\}$であるから、$B$は$A \cup B$から$A$の要素を取り除き、さらに$A \cap B$を加えることで求められる。

$B = (A \cup B) \setminus (A \setminus (A \cap B))$

$A \setminus (A \cap B) = \{1, 3, 4, 6, 8\} \setminus \{4, 6, 8\} = \{1, 3\}$

$B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 3\} = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B}$を求める。

$\overline{B}$は$U$から$B$の要素を取り除いた集合である。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、 $B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$ より、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 10\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 3, 4, 6, 8\} \cap \{1, 3, 5, 10\} = \{1, 3\}$

(3) $A \cup \overline{B}$を求める。

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$、$\overline{B} = \{1, 3, 5, 10\}$より、

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(4) $\overline{A \cap B}$を求める。

$A \cap B = \{4, 6, 8\}$より、

$\overline{A \cap B} = U \setminus (A \cap B) = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\} \setminus \{4, 6, 8\} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$

(3) $A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 7, 9, 10\}$