全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とする。集合 $A, B$ は $U$ の部分集合で、 $A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$, $A \cap B = \{4, 6, 8\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ であるとき、以下の集合を求めよ。 (1) $B$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $A \cup \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を10以下の自然数全体の集合とする。集合 $A, B$ は $U$ の部分集合で、

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$,

$A \cap B = \{4, 6, 8\}$,

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$

であるとき、以下の集合を求めよ。

(1) $B$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $A \cup \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $B$ を求める。

$A \cup B$ には、$A$ の要素と $B$ の要素が全て含まれる。$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$ であり、$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9\}$ であるから、$B$ には $2, 7, 9$ が含まれる必要がある。また、$A \cap B = \{4, 6, 8\}$ であるから、$B$ には $4, 6, 8$ が含まれる。したがって、$B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$。

(2) $A \cap \overline{B}$ を求める。

$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を取り除いたものなので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 10\}$

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$

$A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$

(3) $A \cup \overline{B}$ を求める。

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 10\}$

$A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(4) $\overline{A} \cap B$ を求める。

$\overline{A}$ は $U$ から $A$ の要素を取り除いたものなので、

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 3, 4, 6, 8\}$

$\overline{A} = \{2, 5, 7, 9, 10\}$

$B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

$\overline{A} \cap B = \{2, 7, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $B = \{2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$

(3) $A \cup \overline{B} = \{1, 3, 4, 5, 6, 8, 10\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{2, 7, 9\}$